Свойства степеней: шпаргалка с примерами

Степени появляются в 7 классе, а потом встречаются везде: в многочленах, квадратных корнях, физических формулах, логарифмах, задачах ОГЭ и ЕГЭ. Свойства степеней не нужно зубрить — они логично следуют из определения. Ниже — шпаргалка с примерами для каждого свойства.

Что такое степень

aⁿ = a · a · … · a (n раз).

• a — основание;
• n — показатель.

2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32.

Свойства

1. Умножение степеней с одинаковым основанием

aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ

Почему: a³ · a² = (a · a · a) · (a · a) = a⁵. Множителей стало 3 + 2.

2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128.

2. Деление степеней с одинаковым основанием

aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a ≠ 0)

Почему: a⁵ : a² = (a · a · a · a · a) / (a · a) = a³. Два множителя сократились.

5⁸ : 5⁶ = 5² = 25.

3. Степень степени

(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ

Почему: (a²)³ = a² · a² · a² = a⁶.

(3²)³ = 3⁶ = 729.

4. Степень произведения

(ab)ⁿ = aⁿbⁿ

(2x)³ = 8x³.

5. Степень частного

(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ

(2/3)² = 4/9.

6. Нулевая степень

a⁰ = 1 (a ≠ 0)

Почему: a³ : a³ = 1, но по свойству 2 это a⁰. Значит, a⁰ = 1.

7. Отрицательная степень

a⁻ⁿ = 1/aⁿ

Почему: a² : a⁵ = a⁻³, и это 1/a³.

2⁻³ = 1/8. (1/2)⁻² = 4.

8. Дробная степень (10–11 класс)

a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)

8^(1/3) = ∛8 = 2. 27^(2/3) = (∛27)² = 9.

Полезные приёмы

Приведение к одному основанию. 4 = 2², 8 = 2³, 9 = 3², 27 = 3³, 0,5 = 2⁻¹, 0,01 = 10⁻².

8² · 4³ = (2³)² · (2²)³ = 2⁶ · 2⁶ = 2¹² = 4096.

Степени 10 — для записи больших и маленьких чисел: 3 · 10⁸ (скорость света, м/с), 1,6 · 10⁻¹⁹ (заряд электрона, Кл).

Знак. Отрицательное число в чётной степени — положительное: (−2)⁴ = 16. В нечётной — отрицательное: (−2)³ = −8.

Внимание: −2⁴ = −16 (в степень возводится только 2), а (−2)⁴ = 16.

Типичные ошибки

1. Умножают показатели при умножении степеней: 2³ · 2⁴ = 2¹² — неверно, должно быть 2⁷.
2. Складывают степени с разными основаниями: 2³ · 3² ≠ 6⁵.
3. Сумма в степени: (a + b)² ≠ a² + b². Для суммы свойство не работает!
4. Отрицательная степень даёт отрицательное число: 2⁻³ ≠ −8.
5. Путают −aⁿ и (−a)ⁿ.

Таблица, которую полезно знать

• Степени 2: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024.
• Степени 3: 3, 9, 27, 81, 243.
• Степени 5: 5, 25, 125, 625.
• Квадраты чисел до 20.

Где пригодится

• Многочлены, формулы сокращённого умножения (7 класс).
• Квадратные корни (8 класс).
• Задание 8 ОГЭ и задание 7 ЕГЭ.
• Показательные уравнения и логарифмы (10–11 класс).
• Физика и химия — запись величин.

Если ребёнок путается в степенях, это скажется на всей алгебре. Репетиторы по математике в «Котангенсе» объясняют свойства через смысл и доводят до автоматизма. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице репетитора по математике для 7 класса.