Задание 8 ОГЭ по математике: степени и корни

Задание 8 ОГЭ по математике проверяет, как ученик владеет свойствами степеней и арифметических квадратных корней. Нужно найти значение выражения — обычно оно хитро составлено так, что «в лоб» считать долго, а через свойства — в одну-две строчки.

Что нужно знать

Свойства степеней (a, b ≠ 0):

• aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
• aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
• (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
• (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
• a⁰ = 1
• a⁻ⁿ = 1/aⁿ

Свойства корней (a, b ≥ 0):

• √(ab) = √a · √b
• √(a/b) = √a / √b (b > 0)
• (√a)² = a
• √(a²) = |a|

Примеры

Пример 1. Найдите значение выражения 3⁻⁵ · 3⁸.

3⁻⁵ · 3⁸ = 3⁻⁵⁺⁸ = 3³ = 27.

Пример 2. (2⁴)³ : 2¹⁰.

(2⁴)³ = 2¹², 2¹² : 2¹⁰ = 2² = 4.

Пример 3. √(45) · √(5).

√45 · √5 = √225 = 15.

Пример 4. (√13 − 3)(√13 + 3).

По формуле разности квадратов: (√13)² − 3² = 13 − 9 = 4.

Пример 5. √(3⁴ · 2⁶).

√(3⁴ · 2⁶) = 3² · 2³ = 9 · 8 = 72.

Пример 6. a¹² · (a⁴)⁻² при a = 3.

a¹² · a⁻⁸ = a⁴ = 3⁴ = 81. Сначала упрощаем, потом подставляем — так считать проще и меньше риск ошибиться.

Частые ошибки

• Перемножают показатели вместо сложения. 2³ · 2⁴ = 2⁷, а не 2¹².
• Думают, что отрицательная степень даёт отрицательное число. 2⁻³ = 1/8, а не −8.
• Складывают корни: √9 + √16 ≠ √25. Слева 3 + 4 = 7, справа 5.
• Забывают про модуль: √((−5)²) = 5, а не −5.
• Считают в лоб. 3⁻⁵ · 3⁸ = 1/243 · 6561 — долго и легко ошибиться. Свойства дают ответ за секунду.

Алгоритм решения

1. Посмотрите, нельзя ли привести всё к одному основанию (4 = 2², 9 = 3², 0,2 = 5⁻¹).
2. Примените свойства и упростите выражение.
3. Если есть переменная — подставляйте значение в самом конце.
4. Если есть корни — ищите множители, которые являются полными квадратами: √72 = √(36 · 2) = 6√2.
5. Проверьте, что ответ — целое число или конечная десятичная дробь.

Как готовиться

Задание 8 опирается на темы 7–8 класса: степени с натуральным показателем (7 класс), квадратные корни и степени с целым показателем (8 класс). Если свойства не выучены, их надо не просто зазубрить, а понять, откуда они берутся. Например, aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, потому что вы перемножаете m множителей a и ещё n множителей a.

Для тренировки:

1. Выпишите все свойства на карточку и держите перед глазами первые 2–3 занятия.
2. Решите 20 простых примеров на каждое свойство.
3. Переходите к заданиям 8 из открытого банка ФИПИ.
4. Через неделю проверьте себя без карточки.

Если ребёнок путается в степенях, скорее всего, у него проблемы и с формулами сокращённого умножения, и с преобразованием выражений — это одна «семья» навыков. Репетитор по математике в «Котангенсе» проверит, какие темы 7–8 класса нужно закрыть, и выстроит подготовку к ОГЭ. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице подготовки к ОГЭ по математике.