Умножение и деление дробей: правила и примеры

Умножение и деление дробей проходят в 6 классе. По сравнению со сложением, где нужен общий знаменатель, умножение кажется простым. Но именно здесь появляются ошибки: в делении «переворачивают» не ту дробь, забывают сокращать, путаются в смешанных числах. Ниже — правила и примеры для каждого случая.

Умножение

Числитель умножаем на числитель, знаменатель — на знаменатель.

a/b · c/d = (a · c)/(b · d).

Пример. 2/3 · 4/5 = 8/15.

Общий знаменатель не нужен.

Сокращение до умножения

Сокращайте до того, как перемножить, — так числа меньше.

Пример. 6/7 · 14/9.

6 и 9 сокращаются на 3: 2/7 · 14/3.

7 и 14 сокращаются на 7: 2/1 · 2/3 = 4/3 = 1 1/3.

Сокращать можно числитель любой дроби со знаменателем любой дроби (крест-накрест).

Умножение на целое число

Целое число — это дробь со знаменателем 1.

3/8 · 4 = 3/8 · 4/1 = 12/8 = 3/2 = 1 1/2.

Деление

Делить на дробь — значит умножать на обратную (перевёрнутую) дробь.

a/b : c/d = a/b · d/c.

Пример. 3/4 : 2/5 = 3/4 · 5/2 = 15/8 = 1 7/8.

Переворачиваем только вторую дробь (делитель)!

Почему так? Деление на 1/2 — это вопрос «сколько половинок помещается?». В единице две половинки: 1 : 1/2 = 2 = 1 · 2/1. Отсюда правило.

Деление на целое число

5/6 : 3 = 5/6 · 1/3 = 5/18.

Смешанные числа

Сначала переведите в неправильные дроби.

2 1/3 · 1 1/2 = 7/3 · 3/2 = 7/2 = 3 1/2.

3 3/4 : 1 1/4 = 15/4 : 5/4 = 15/4 · 4/5 = 3.

Ошибка: умножать целые части отдельно, а дробные — отдельно. 2 1/3 · 1 1/2 ≠ 2 · 1 + 1/3 · 1/2.

Часть от числа

Найти часть от числа — умножить число на дробь.

Найдите 3/5 от 40. 40 · 3/5 = 24.

В классе 28 учеников, 3/4 из них пришли на экскурсию. Сколько? 28 · 3/4 = 21.

Число по его части

Найти число по его части — разделить часть на дробь.

3/5 числа равны 24. Найдите число. 24 : 3/5 = 24 · 5/3 = 40.

Прочитали 60 страниц, это 2/7 книги. Сколько страниц в книге? 60 : 2/7 = 60 · 7/2 = 210.

Типичные ошибки

1. Ищут общий знаменатель при умножении — не нужно.
2. Переворачивают первую дробь при делении вместо второй.
3. Не сокращают — получаются огромные числа.
4. Работают со смешанными числами без перевода в неправильные дроби.
5. Путают «часть от числа» и «число по части» — умножение и деление.

Как проверить

• Умножение на дробь меньше 1 — результат меньше исходного числа.
• Деление на дробь меньше 1 — результат больше исходного.

Если 40 · 3/5 получилось больше 40 — ошибка.

Как тренироваться

• 10 примеров на умножение с сокращением.
• 10 на деление.
• 10 со смешанными числами.
• 10 задач на часть от числа и число по части.

Дроби — фундамент алгебры. Если умножение и деление дробей «не держатся», репетитор поможет довести их до автоматизма. Репетиторы по математике в «Котангенсе» занимаются онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице репетитора по математике для 6 класса.