Сложение дробей с разными знаменателями: пошагово

Сложение дробей с разными знаменателями — тема, на которой многие пятиклассники «застревают». Правило кажется длинным: найти общий знаменатель, дополнительные множители, сложить, сократить. Но если понять, зачем всё это, правило запоминается само. Ниже всё разобрано пошагово, с примерами.

Зачем нужен общий знаменатель

Складывать можно только одинаковые «куски». 2/7 + 3/7 = 5/7 — сложили седьмые части с седьмыми.

А 1/2 + 1/3? Половинка и треть — куски разного размера. Нельзя сказать «два куска», потому что они разные. Нужно разрезать оба на одинаковые части. Половинка — это 3 шестых, треть — 2 шестых. Теперь можно сложить: 3/6 + 2/6 = 5/6.

Общий знаменатель — это размер «куска», на который удобно разрезать обе дроби.

Алгоритм пошагово

1. Найдите общий знаменатель — число, которое делится на оба знаменателя (лучше наименьшее — НОК).
2. Найдите дополнительные множители: общий знаменатель разделите на знаменатель каждой дроби.
3. Умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.
4. Сложите (вычтите) числители, знаменатель оставьте.
5. Сократите результат, выделите целую часть, если дробь неправильная.

Примеры

Пример 1. 1/4 + 1/6.

• Общий знаменатель: 12 (делится и на 4, и на 6).
• Дополнительные множители: 12 : 4 = 3, 12 : 6 = 2.
• 1/4 = 3/12, 1/6 = 2/12.
• 3/12 + 2/12 = 5/12.

Пример 2. 5/6 − 3/8.

• Общий знаменатель: 24.
• 5/6 = 20/24, 3/8 = 9/24.
• 20/24 − 9/24 = 11/24.

Пример 3. 2/3 + 3/4.

• Общий знаменатель: 12.
• 8/12 + 9/12 = 17/12 = 1 5/12.

Как найти общий знаменатель

Способ 1. Перемножить знаменатели. 4 · 6 = 24. Работает всегда, но число может получиться большим — потом придётся сокращать.

Способ 2. Взять больший знаменатель и проверять кратные. Для 4 и 6: 6 на 4 не делится, 12 — делится. Общий знаменатель 12.

Способ 3. Если один знаменатель делится на другой — он и есть общий. 1/3 + 1/9: общий знаменатель 9.

Смешанные числа

Способ 1: целые части складываем отдельно, дробные — отдельно.

2 1/3 + 1 1/4 = (2 + 1) + (1/3 + 1/4) = 3 + 7/12 = 3 7/12.

Если при вычитании не хватает: 5 1/4 − 2 2/3.

1/4 − 2/3 — получится отрицательное. «Займите» единицу: 5 1/4 = 4 5/4. Теперь 5/4 − 2/3 = 15/12 − 8/12 = 7/12. Ответ: 4 − 2 + 7/12 = 2 7/12.

Способ 2: перевести в неправильные дроби и складывать как обычно. Надёжно, но числа больше.

Типичные ошибки

1. Складывают числители и знаменатели: 1/2 + 1/3 = 2/5. Проверка здравым смыслом: половина плюс треть — больше половины, а 2/5 меньше половины.
2. Умножают только знаменатель на дополнительный множитель, забывая числитель.
3. Не сокращают ответ.
4. Ошибаются при «занимании» единицы в смешанных числах.

Как тренироваться

• Рисуйте круги или прямоугольники, разрезанные на части, — особенно в начале.
• 10 примеров в день, начиная с простых (2, 3, 4, 6), потом сложнее.
• Проверяйте ответ прикидкой: 2/3 + 3/4 — это больше 1, значит, ответ 1 5/12 похож на правду.

Если ребёнок путается в дробях, это скажется на всей алгебре. Репетиторы по математике в «Котангенсе» объясняют дроби наглядно, на интерактивной доске. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице репетитора по математике для 5 класса.