Тригонометрический круг: как им пользоваться

Тригонометрический круг — главный инструмент в тригонометрии 10–11 класса. Если понять, как им пользоваться, не нужно зубрить таблицы значений, знаки по четвертям и формулы приведения — всё «видно» на круге.

Что такое тригонометрический круг

Это окружность радиусом 1 с центром в начале координат. Каждой точке на окружности соответствует угол, отсчитанный от положительного направления оси x против часовой стрелки.

Главное правило:

• косинус угла — координата x точки на круге;
• синус угла — координата y.

Поэтому cos и sin всегда от −1 до 1.

Градусы и радианы

Полный круг — 360°, или 2π радиан. Значит, π = 180°.

• 30° = π/6
• 45° = π/4
• 60° = π/3
• 90° = π/2
• 180° = π
• 270° = 3π/2

Перевод: градусы · π/180; радианы · 180/π.

Главные точки

• 0 — cos: 1; sin: 0
• π/6 (30°) — cos: √3/2; sin: 1/2
• π/4 (45°) — cos: √2/2; sin: √2/2
• π/3 (60°) — cos: 1/2; sin: √3/2
• π/2 (90°) — cos: 0; sin: 1
• π (180°) — cos: −1; sin: 0
• 3π/2 (270°) — cos: 0; sin: −1

Запоминалка: в первой четверти синус растёт от 0 до 1 через 1/2, √2/2, √3/2, а косинус — наоборот, убывает.

Знаки по четвертям

• I четверть (0 до π/2): x > 0, y > 0 — cos > 0, sin > 0.
• II четверть (π/2 до π): x < 0, y > 0 — cos < 0, sin > 0.
• III четверть (π до 3π/2): x < 0, y < 0 — cos < 0, sin < 0.
• IV четверть (3π/2 до 2π): x > 0, y < 0 — cos > 0, sin < 0.

Тангенс = sin/cos, поэтому он положителен в I и III четвертях.

Значения для других углов

Угол 2π/3 (120°) — во II четверти. Его точка симметрична точке π/3 относительно оси y. Значит:

• cos(2π/3) = −1/2 (знак меняется);
• sin(2π/3) = √3/2 (как у π/3).

Так находятся значения для любых «табличных» углов: определите четверть, найдите симметричный угол в I четверти, поставьте знак.

Отрицательные углы и углы больше 2π

• Отрицательный угол — откладываем по часовой стрелке: −π/6 — та же точка, что 11π/6.
• Угол больше 2π — делаем полный оборот и продолжаем: 13π/6 = 2π + π/6 — та же точка, что π/6.

Простейшие уравнения на круге

sin x = 1/2. Ищем точки на круге, у которых y = 1/2. Их две: π/6 и 5π/6. С учётом оборотов:

x = π/6 + 2πn, x = 5π/6 + 2πn, n ∈ ℤ.

cos x = 0. x = 0 у точек π/2 и 3π/2 — это x = π/2 + πn.

Отбор корней на отрезке (задание 13 ЕГЭ) тоже удобно делать на круге: отметьте дугу отрезка и посмотрите, какие точки серий на неё попадают.

Типичные ошибки

• Путают, что sin — это y, а cos — x.
• Отсчитывают угол по часовой стрелке.
• Теряют вторую серию решений (у sin x = a обычно две точки на круге).
• Неправильный знак во II–IV четвертях.

Как освоить

1. Нарисуйте круг от руки и отметьте все главные точки с углами в радианах.
2. Подпишите координаты точек первой четверти.
3. Отработайте симметрию: найдите значения для 2π/3, 5π/4, 7π/6, 11π/6.
4. Решите 20 простейших уравнений с помощью круга.

Тригонометрический круг — одна из тем, которую трудно понять по учебнику, но легко — когда кто-то рисует вместе с тобой. Репетиторы по математике в «Котангенсе» объясняют тригонометрию на интерактивной доске. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице репетитора по тригонометрии.