Теория вероятностей в школе: основы для 7–11 класса

Теория вероятностей раньше была в школе «по остаточному принципу», а теперь — отдельный предмет «Вероятность и статистика» с 7 класса и задания в ОГЭ и ЕГЭ. Хорошая новость: основы теории вероятностей укладываются в несколько идей, и они очень жизненные. Ниже — эти основы для 7–11 класса.

Случайное событие и вероятность

Случайное событие — то, что может произойти, а может и нет: выпадет орёл, вытащим красный шар, пойдёт дождь.

Вероятность — число от 0 до 1, которое показывает, насколько событие возможно.

• 0 — невозможное событие (на кубике выпадет 7).
• 1 — достоверное событие (на кубике выпадет число меньше 7).
• 0,5 — «пятьдесят на пятьдесят».

Классическая формула

Если все исходы равновозможны:

P(A) = m / n

m — число исходов, благоприятных для A; n — число всех исходов.

Пример. В коробке 5 красных и 15 синих шаров. Вероятность вытащить красный: 5/20 = 0,25.

Противоположное событие

«Не A» — событие, которое происходит, когда A не происходит.

P(не A) = 1 − P(A)

Пример. Вероятность, что ручка бракованная, 0,03. Вероятность, что исправна: 0,97.

Это очень удобно в задачах «хотя бы один»: проще посчитать вероятность того, что «ни одного».

Несовместные события и сложение

Несовместные — не могут произойти одновременно (на кубике выпадет 2 и выпадет 5).

P(A или B) = P(A) + P(B)

Пример. Вероятность выпадения 1 или 2 на кубике: 1/6 + 1/6 = 1/3.

Для совместных событий: P(A или B) = P(A) + P(B) − P(A и B).

Независимые события и умножение

Независимые — результат одного не влияет на другое (два броска монеты).

P(A и B) = P(A) · P(B)

Пример. Вероятность двух орлов подряд: 0,5 · 0,5 = 0,25.

Пример. Стрелок попадает с вероятностью 0,9. Вероятность трёх попаданий подряд: 0,9³ = 0,729.

Хотя бы один

Пример. Вероятность, что хотя бы один из трёх выстрелов попадёт (вероятность попадания 0,9):

P(ни одного) = 0,1³ = 0,001. P(хотя бы один) = 1 − 0,001 = 0,999.

Дерево вариантов

Для задач в несколько шагов рисуйте дерево: каждая ветка — исход с вероятностью. Вероятность пути — произведение вероятностей по веткам. Итоговая вероятность — сумма нужных путей.

Пример. В классе 60% девочек. Из девочек 30% занимаются спортом, из мальчиков — 50%. Какова вероятность, что случайно выбранный ученик занимается спортом?

0,6 · 0,3 + 0,4 · 0,5 = 0,18 + 0,2 = 0,38.

Немного статистики

В том же школьном предмете изучают:

• среднее арифметическое — сумма, делённая на количество;
• медиану — середину упорядоченного ряда;
• размах — разность наибольшего и наименьшего;
• моду — самое частое значение;
• диаграммы и таблицы.

Где это нужно на экзаменах

• ОГЭ: задание 10 — классическая вероятность.
• ЕГЭ (профиль): задания 4 и 5 — классическая и вероятность сложных событий.
• ЕГЭ (база): задание на вероятность.

Типичные ошибки

• Неправильно посчитано общее число исходов.
• Путают «и» (умножение) и «или» (сложение).
• Считают события независимыми, когда они зависимы (вытаскивание без возвращения).
• Вероятность больше 1 — явная ошибка.

Как учить

1. Начните с подсчёта исходов на монетах, кубиках, картах.
2. Освойте противоположное событие.
3. Переходите к сложению и умножению — с деревом вариантов.
4. Решайте задачи из открытого банка ФИПИ.

Теория вероятностей хорошо объясняется на играх и опытах: бросить монету 50 раз, посчитать, сравнить с расчётом. Репетиторы по математике в «Котангенсе» объясняют вероятность через понятные примеры. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице репетитора по теории вероятностей.