Задание 10 ОГЭ по математике: теория вероятностей

Задание 10 ОГЭ по математике — задача на теорию вероятностей. Почти всегда хватает одной формулы и аккуратного подсчёта. Это один из самых «дешёвых» баллов в варианте: понять принцип можно за одно занятие.

Главная формула

Вероятность = число благоприятных исходов / число всех исходов.

P = m / n.

Вероятность всегда от 0 до 1. Если у вас получилось 1,2 или −0,3 — ошибка.

Примеры

Пример 1. Пирожки. На тарелке 12 пирожков: 5 с мясом, 4 с капустой и 3 с вишней. Петя наугад берёт один. Найдите вероятность, что пирожок окажется с вишней.

Всего исходов 12, благоприятных 3. P = 3/12 = 0,25.

Пример 2. Билеты. В сборнике 40 билетов, в 6 из них встречается вопрос по геометрии. Какова вероятность, что в случайно выбранном билете не будет вопроса по геометрии?

Без геометрии 40 − 6 = 34 билета. P = 34/40 = 0,85.

Можно и через противоположное событие: 1 − 6/40 = 1 − 0,15 = 0,85.

Пример 3. Спортсмены. В соревнованиях участвуют 20 спортсменов: 8 из России, 7 из Китая, остальные из Японии. Порядок выступления определяется жребием. Найдите вероятность, что последним выступит спортсмен из Японии.

Из Японии 20 − 8 − 7 = 5. P = 5/20 = 0,25.

Обратите внимание: неважно, «первым», «последним» или «десятым» — вероятность для любого места одинакова.

Пример 4. Монеты. Монету бросают два раза. Какова вероятность, что орёл выпадет ровно один раз?

Все исходы: ОО, ОР, РО, РР — четыре. Благоприятные: ОР, РО — два. P = 2/4 = 0,5.

Пример 5. Кубик. Игральный кубик бросают один раз. Найдите вероятность, что выпадет число больше 4.

Больше 4 — это 5 и 6, два исхода из шести. P = 2/6 = 1/3. Такой ответ не записать конечной десятичной дробью. В заданиях ОГЭ числа подобраны так, что ответ «красивый». Если вам выпало 1/3 — перечитайте условие: возможно, спрашивают «не меньше 4» (4, 5, 6 → 3/6 = 0,5).

Частые ловушки

• Неверно посчитаны все исходы. В задаче про пирожки забыли один вид, в задаче про спортсменов — не вычли две страны.
• Перепутали событие. Спрашивают вероятность того, что не выпадет, — а посчитали «выпадет».
• При двух бросках монеты считают три исхода («два орла, две решки, по одному»). На самом деле «по одному» — это два разных исхода: ОР и РО.
• Ответ записан дробью. В бланк нужно десятичное число: 0,25, а не 1/4.
• Неправильное деление. 34/40 = 0,85 — проверяйте умножением: 0,85 · 40 = 34.

Задачи «на часть»

Иногда в задаче дан процент брака или доля: «Из 1000 насосов в среднем 5 подтекают. Найдите вероятность, что выбранный насос не подтекает».

P = (1000 − 5)/1000 = 0,995.

Или наоборот: «Вероятность того, что ручка пишет плохо, 0,19. Какова вероятность, что ручка пишет хорошо?» P = 1 − 0,19 = 0,81.

Как подготовиться

1. Запомнить формулу P = m/n и правило противоположного события: P(не A) = 1 − P(A).
2. Решить по 3–5 задач каждого сюжета: предметы, билеты, спортсмены, монеты, кубики, проценты брака.
3. Для монет и кубиков — выписывать все исходы, пока не станет понятно, как их считать.
4. Проверять ответ: он должен быть между 0 и 1.

С 2023 года в школах появился отдельный предмет «Вероятность и статистика» (7–9 класс), и задачи на вероятность встречаются и в ОГЭ, и в ЕГЭ. Понять основы сейчас — значит облегчить себе жизнь в старших классах.

Если ребёнок путается в подсчёте исходов, с репетитором это разбирается за 1–2 занятия. В «Котангенсе» подготовка к ОГЭ по математике идёт онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице репетитора по математике для ОГЭ.