Задание 5 ЕГЭ профиль: вероятность сложных событий

Задание 5 профильного ЕГЭ по математике — вероятность сложных событий. Здесь уже недостаточно посчитать исходы: нужно уметь складывать и перемножать вероятности. Задание сложнее четвёртого, но набор приёмов тоже ограничен.

Правила

Сложение (несовместные события). Если A и B не могут произойти одновременно: P(A или B) = P(A) + P(B).

Умножение (независимые события). Если A и B не влияют друг на друга: P(A и B) = P(A) · P(B).

Противоположное событие. P(не A) = 1 − P(A).

Сложение для совместных событий. P(A или B) = P(A) + P(B) − P(A и B).

Примеры

Пример 1. Стрелок. Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,8. Он стреляет 3 раза. Найдите вероятность, что все три выстрела — попадания.

Выстрелы независимы: 0,8³ = 0,512.

Пример 2. Хотя бы один. Тот же стрелок. Найдите вероятность хотя бы одного попадания.

Противоположное событие — три промаха: 0,2³ = 0,008. P = 1 − 0,008 = 0,992.

Пример 3. Сначала промах, потом попадания. Найдите вероятность, что первые два выстрела — промахи, а третий — попадание.

0,2 · 0,2 · 0,8 = 0,032.

Пример 4. Два автомата. В магазине два кофейных автомата. Вероятность, что к вечеру кофе закончится в одном автомате, 0,3. Вероятность, что закончится в обоих, — 0,12. Найдите вероятность, что к вечеру кофе останется в обоих.

P(закончится хотя бы в одном) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48. P(останется в обоих) = 1 − 0,48 = 0,52.

Пример 5. Полная вероятность. Фабрика выпускает сумки. 8% сумок имеют дефект. Контроль качества выявляет 70% дефектных сумок и отправляет их на переделку; остальные идут в продажу. Найдите вероятность, что купленная сумка без дефекта.

Нужна условная вероятность. Из 100 сумок: 8 с дефектом, из них 70% (5,6) отбраковано, 2,4 попадут в продажу. Без дефекта 92. В продаже всего 92 + 2,4 = 94,4. P = 92/94,4 ≈ 0,97.

Удобный приём — «взять 100 (или 1000) объектов» и посчитать количества вместо вероятностей.

Пример 6. Дерево вариантов. Ковбой выбирает пистолет: из 10 пристрелянных 4. Из пристрелянного попадает с вероятностью 0,9, из непристрелянного — 0,2. Найдите вероятность промаха.

P(промах) = 0,4 · 0,1 + 0,6 · 0,8 = 0,04 + 0,48 = 0,52.

Как не запутаться

1. Определите, что именно спрашивают. Перепишите событие словами: «все три попадания», «хотя бы одно», «ровно одно».
2. Рисуйте дерево. Каждая ветка — вариант с вероятностью, вероятность пути — произведение по веткам, итоговая — сумма нужных путей.
3. «Хотя бы один» → через противоположное.
4. Проверьте здравым смыслом: вероятность от 0 до 1, «хотя бы одно» больше, чем «одно конкретное».

Типичные ошибки

• Складывают вероятности там, где нужно умножать, и наоборот.
• Считают события независимыми, когда они зависимы (например, вытаскивание без возвращения).
• Путают «ровно один» и «хотя бы один».

Как подготовиться

1. Разобраться с правилами на 10–15 простых задачах.
2. Решить все прототипы задания 5 из открытого банка ФИПИ — их немного.
3. Для каждой задачи рисовать дерево вариантов.

Задание 5 — хороший индикатор: если оно решается уверенно, значит, логика вероятностей понята, и задание 4 тоже не вызовет проблем. Если нет — помогут пара занятий с преподавателем. В «Котангенсе» подготовка к ЕГЭ по профильной математике — онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице подготовки к ЕГЭ по математике.