Тригонометрические формулы: какие учить, а какие выводить

Тригонометрических формул в справочниках — несколько десятков. Учить их все подряд — мучительно и бессмысленно. На самом деле наизусть достаточно знать несколько базовых, а остальные выводятся за минуту. Разберёмся, какие формулы учить, а какие выводить.

Учить обязательно

1. Определения на круге: cos α — абсцисса (x), sin α — ордината (y) точки на единичной окружности. tg α = sin α / cos α, ctg α = cos α / sin α.

2. Значения для основных углов: 0, π/6, π/4, π/3, π/2 (0°, 30°, 45°, 60°, 90°).

3. Основное тригонометрическое тождество:

sin²α + cos²α = 1.

(Это теорема Пифагора для единичного круга.)

4. Формулы сложения:

• sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
• sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β
• cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
• cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β

Запоминалка: синус — «смешанный» (sin·cos + cos·sin), знак как в аргументе; косинус — «одинаковые» (cos·cos, sin·sin), знак противоположный.

Почти всё остальное выводится из этих формул.

Выводить: формулы двойного угла

Подставьте β = α в формулы сложения:

• sin 2α = 2 sin α cos α
• cos 2α = cos²α − sin²α

Используя основное тождество:

• cos 2α = 2cos²α − 1
• cos 2α = 1 − 2sin²α

Выводить: формулы понижения степени

Из последних двух:

• cos²α = (1 + cos 2α)/2
• sin²α = (1 − cos 2α)/2

Выводить: следствия основного тождества

Разделите sin²α + cos²α = 1 на cos²α:

1 + tg²α = 1/cos²α.

Разделите на sin²α:

1 + ctg²α = 1/sin²α.

Формулы приведения — по правилу, а не наизусть

Формулы вида sin(π − α), cos(3π/2 + α) и т. п. учить не нужно. Есть правило:

1. Знак. Считайте α острым углом, определите, в какой четверти лежит исходный угол, и какой знак имеет там исходная функция.

2. Название функции. Если в формуле π или 2π (горизонтальная ось) — функция не меняется. Если π/2 или 3π/2 (вертикальная ось) — меняется на «кофункцию» (sin ↔ cos, tg ↔ ctg).

Запоминалка: «киваем» головой вдоль вертикальной оси (π/2, 3π/2) — «да, меняем»; вдоль горизонтальной (π, 2π) — «нет, не меняем».

Пример. cos(π/2 + α).

• Угол π/2 + α — во II четверти, косинус там отрицательный → знак «−».
• π/2 — вертикальная ось → cos меняется на sin.
• Ответ: −sin α.

Пример. sin(π − α).

• II четверть, синус положительный → «+».
• π — горизонтальная ось → функция не меняется.
• Ответ: sin α.

Где формулы нужны в ЕГЭ

• Задание 7 — вычисления с тригонометрией.
• Задание 13 — тригонометрические уравнения.
• Задание 12 — производные sin и cos.
• Задания 17, 18 — иногда.

Как запомнить «базу»

1. Выведите формулы двойного угла и понижения степени сами — один раз.
2. Повесьте на стену карточку с основным тождеством, формулами сложения и правилом приведения.
3. Решайте задания, где нужны формулы, — по 5–10 в день.
4. Через неделю попробуйте вывести всё по памяти.

Тригонометрия пугает количеством формул, но становится простой, когда видна система. Репетиторы по математике в «Котангенсе» объясняют, как формулы связаны между собой. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице репетитора по тригонометрии.