Теоремы синусов и косинусов: когда какую применять

Теоремы синусов и косинусов позволяют «решить» любой треугольник — найти неизвестные стороны и углы по известным. Их проходят в 9 классе, а используют в задачах ОГЭ (23, 25) и ЕГЭ (1, 17), а также в физике. Разберём, когда какую теорему применять и как их не перепутать.

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

c² = a² + b² − 2ab · cos C.

Связь с Пифагором: если C = 90°, cos C = 0, и формула превращается в c² = a² + b². Теорема косинусов — это «обобщённая теорема Пифагора».

Когда применять:

1. Известны две стороны и угол между ними → найти третью сторону.
2. Известны три стороны → найти угол.

Пример 1. a = 5, b = 8, угол C = 60°. Найдите c.

c² = 25 + 64 − 2 · 5 · 8 · ½ = 89 − 40 = 49 → c = 7.

Пример 2. Стороны 7, 8, 13. Найдите наибольший угол.

Наибольший угол — напротив наибольшей стороны (13).

169 = 49 + 64 − 2 · 7 · 8 · cos C → 169 = 113 − 112 cos C → cos C = −56/112 = −½ → C = 120°.

Определение вида треугольника: если cos C < 0 — угол тупой, = 0 — прямой, > 0 — острый. Достаточно сравнить c² с a² + b².

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R,

где R — радиус описанной окружности.

Когда применять:

1. Известны два угла и сторона → найти другие стороны.
2. Известны две стороны и угол напротив одной из них → найти угол напротив другой.
3. Нужно найти радиус описанной окружности.

Пример 3. a = 10, A = 30°, B = 45°. Найдите b.

10 / sin 30° = b / sin 45° → 10 / ½ = b / (√2/2) → 20 = b / (√2/2) → b = 10√2.

Пример 4. Сторона треугольника 12, противолежащий угол 30°. Найдите радиус описанной окружности.

2R = 12 / sin 30° = 24 → R = 12.

Как выбрать теорему

Посмотрите, что дано:

• Две стороны и угол между ними → косинусов.
• Три стороны → косинусов.
• Два угла и сторона → синусов (третий угол — через сумму 180°).
• Сторона и противолежащий угол + что-то ещё → синусов.
• Нужен R → синусов.

Полезные значения

• sin 30° = ½, cos 30° = √3/2
• sin 45° = cos 45° = √2/2
• sin 60° = √3/2, cos 60° = ½
• sin 90° = 1, cos 90° = 0
• sin 120° = √3/2, cos 120° = −½
• sin 150° = ½, cos 150° = −√3/2

Для тупых углов: sin(180° − α) = sin α, cos(180° − α) = −cos α.

Типичные ошибки

• В теореме косинусов берут угол не между указанными сторонами.
• Забывают про минус у косинуса тупого угла.
• В теореме синусов путают, какой угол противолежит какой стороне.
• Неоднозначность: по двум сторонам и углу не между ними может быть два треугольника (sin α = sin(180° − α)).

Как тренироваться

1. Выучите формулы и таблицу значений.
2. Решите по 10 задач на каждую теорему.
3. Затем — смешанные задачи, где нужно выбрать теорему самому.

Теоремы синусов и косинусов — мощные инструменты, если понимать, когда какую применять. Репетиторы по математике в «Котангенсе» объясняют это на чертежах. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице репетитора по геометрии.