Теорема Пифагора: как и где применять

Теорема Пифагора — пожалуй, самая известная теорема школьной математики. Её проходят в 8 классе, а дальше она встречается почти везде: в геометрии, физике, ОГЭ и ЕГЭ, в задачах про лестницы, экраны и расстояния на карте. Разберём, как и где её применять.

Формулировка

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

c² = a² + b²,

где c — гипотенуза (сторона напротив прямого угла, самая длинная), a и b — катеты.

Как найти гипотенузу

c = √(a² + b²).

Пример. Катеты 6 и 8. c = √(36 + 64) = √100 = 10.

Как найти катет

a = √(c² − b²).

Пример. Гипотенуза 13, катет 5. a = √(169 − 25) = √144 = 12.

Главная ошибка — сложить квадраты вместо вычитания. Помните: гипотенуза — самая длинная сторона, поэтому катет точно меньше её.

Пифагоровы тройки

Целые числа, для которых выполняется теорема. Их полезно знать наизусть:

• 3, 4, 5
• 5, 12, 13
• 8, 15, 17
• 7, 24, 25
• 20, 21, 29

И все кратные: 6, 8, 10; 9, 12, 15; 15, 20, 25; 10, 24, 26.

Увидели в задаче катеты 9 и 12 — сразу ответ 15, без вычислений.

Задачи из жизни

Лестница. Лестница длиной 5 м приставлена к стене, нижний конец на расстоянии 3 м от стены. На какой высоте верхний конец?

√(25 − 9) = 4 м.

Диагональ телевизора. Экран 80 × 60 см. Диагональ: √(6400 + 3600) = √10 000 = 100 см (около 39 дюймов).

Расстояние на карте. Из точки прошли 400 м на север и 300 м на восток. Расстояние до точки старта по прямой: 500 м.

Где встречается на экзаменах

• ОГЭ: задания 1–5 (расстояния на плане, шины), 15–18 (треугольники, четырёхугольники, клетчатая бумага), 23–25.
• ЕГЭ: задание 1 (планиметрия), 2 (длина вектора — та же теорема), 3 (стереометрия), 14, 17.
• Физика: сложение перпендикулярных скоростей и сил.

Теорема в других фигурах

• Диагональ прямоугольника: d = √(a² + b²).
• Диагональ квадрата: d = a√2.
• Высота равнобедренного треугольника: h = √(b² − (a/2)²), где b — боковая сторона, a — основание.
• Высота равностороннего треугольника: h = a√3/2.
• Диагональ прямоугольного параллелепипеда: d = √(a² + b² + c²).
• Длина отрезка на координатной плоскости: √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).

Обратная теорема

Если в треугольнике c² = a² + b², то он прямоугольный.

Пример. Треугольник со сторонами 9, 40, 41. 81 + 1600 = 1681 = 41². Значит, треугольник прямоугольный.

Типичные ошибки

1. Применяют к непрямоугольному треугольнику. Теорема работает только при прямом угле. Для произвольного треугольника — теорема косинусов.
2. Путают гипотенузу и катет.
3. Складывают стороны, а не квадраты: c ≠ a + b.
4. Забывают извлечь корень в конце.

Как запомнить навсегда

Покажите ребёнку классическое доказательство: квадраты, построенные на сторонах. Или вырежьте из бумаги треугольник 3–4–5 и квадраты 9, 16 и 25 клеток. Когда видно, что 9 + 16 действительно складываются в 25, теорема перестаёт быть формулой — она становится фактом.

Если ребёнок путается в геометрии 8 класса, стоит разобраться сейчас: дальше на этих фактах строится почти всё. Репетиторы по математике в «Котангенсе» объясняют геометрию на чертежах и интерактивной доске. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице репетитора по геометрии.