Первообразная и интеграл: что нужно знать для ЕГЭ

Первообразная и интеграл — последняя большая тема школьной алгебры (11 класс). В профильном ЕГЭ она встречается в задании 8 (по графику первообразной) и иногда в других заданиях. Всё, что нужно знать для экзамена, — небольшой объём, и он хорошо укладывается в голове, если понимать связь с производной.

Первообразная: производная «наоборот»

F(x) — первообразная функции f(x), если F′(x) = f(x).

Если производная отвечает на вопрос «какая скорость изменения?», то первообразная — «какая функция имеет такую скорость изменения?».

Пример. Для f(x) = 2x первообразная — F(x) = x², потому что (x²)′ = 2x.

Но и x² + 5, и x² − 3 — тоже первообразные (производная константы — ноль). Поэтому общий вид: F(x) = x² + C, где C — любая константа.

Таблица первообразных

• f(x) = k (число) → F(x) = kx + C
• f(x) = xⁿ (n ≠ −1) → F(x) = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
• f(x) = 1/x → F(x) = ln|x| + C
• f(x) = eˣ → F(x) = eˣ + C
• f(x) = sin x → F(x) = −cos x + C
• f(x) = cos x → F(x) = sin x + C
• f(x) = 1/cos²x → F(x) = tg x + C

Проверка всегда простая: возьмите производную от ответа — должна получиться исходная функция.

Правила

• Первообразная суммы = сумма первообразных.
• Число выносится: первообразная kf(x) равна kF(x).
• f(kx + b) → (1/k) · F(kx + b).

Пример. f(x) = 3x² − 4x + 5.

F(x) = x³ − 2x² + 5x + C.

Проверка: F′(x) = 3x² − 4x + 5 ✓.

Пример. f(x) = cos 3x → F(x) = (1/3) sin 3x + C.

Первообразная через точку

Если известно значение F в какой-то точке, можно найти C.

Пример. Найдите первообразную f(x) = 2x, график которой проходит через (1; 4).

F(x) = x² + C. 4 = 1 + C → C = 3. F(x) = x² + 3.

Интеграл и площадь

Формула Ньютона — Лейбница:

∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a).

Геометрический смысл: если f(x) ≥ 0 на [a; b], интеграл равен площади криволинейной трапеции — фигуры под графиком f от a до b.

Пример. Найдите площадь под графиком y = x² на [0; 3].

F(x) = x³/3. S = F(3) − F(0) = 9 − 0 = 9.

Пример. ∫₁² (2x + 1) dx = [x² + x]₁² = (4 + 2) − (1 + 1) = 4.

Задание 8 ЕГЭ: график первообразной

Типичные вопросы:

• Дан график F(x) — где f(x) > 0? Там, где F возрастает. Где f(x) = 0? В точках экстремума F.
• Дан график F(x) — найдите ∫ₐᵇ f(x)dx. Это F(b) − F(a), значения считываются с графика.
• Дана формула F(x) и график f — найдите площадь фигуры. S = F(b) − F(a).

Связь с физикой

• Если v(t) — скорость, то путь — первообразная скорости: s = ∫v(t)dt.
• Работа переменной силы — интеграл силы по пути.

Типичные ошибки

• Забывают «+ C» в общем виде первообразной.
• Ошибаются со знаком: первообразная sin x — это −cos x.
• Для xⁿ делят не на n + 1, а на n.
• В формуле Ньютона — Лейбница путают порядок: F(b) − F(a), а не наоборот.
• Читают график f как график F (и наоборот).

Как освоить

1. Повторите производные — первообразная опирается на них.
2. Выучите таблицу первообразных.
3. Решите 15–20 примеров на нахождение первообразных с проверкой.
4. 10 задач на площадь.
5. Задания 8 ЕГЭ с графиками.

Первообразная понятна, когда видна связь с производной. Репетиторы по математике в «Котангенсе» объясняют её на графиках. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице репетитора по теме «интеграл».