Объёмы и площади поверхности тел: формулы

Объёмы и площади поверхности тел — задание 3 профильного ЕГЭ, задания базового ЕГЭ и часть задачи 14. Формул немного, и почти все они строятся по двум простым принципам.

Два главных принципа объёма

1. «Прямые» тела (призма, цилиндр): V = S_осн · h.

Площадь основания умножить на высоту. Представьте стопку одинаковых листов — объём равен площади листа на высоту стопки.

2. «Острые» тела (пирамида, конус): V = ⅓ · S_осн · h.

Ровно треть от «прямого» тела с тем же основанием и высотой.

Формулы объёмов

• Куб: V = a³.
• Прямоугольный параллелепипед: V = abc.
• Призма: V = S_осн · h.
• Пирамида: V = ⅓ · S_осн · h.
• Цилиндр: V = πR²h.
• Конус: V = ⅓πR²h.
• Шар: V = (4/3)πR³.

Формулы площади поверхности

• Куб: S = 6a².
• Прямоугольный параллелепипед: S = 2(ab + bc + ac).
• Призма: S_полн = S_бок + 2S_осн; для прямой призмы S_бок = P_осн · h.
• Правильная пирамида: S_бок = ½ · P_осн · l, где l — апофема (высота боковой грани).
• Цилиндр: S_бок = 2πRh; S_полн = 2πRh + 2πR².
• Конус: S_бок = πRl (l — образующая); S_полн = πRl + πR².
• Сфера (шар): S = 4πR².

Как запомнить

• Цилиндр: боковая поверхность — это развёрнутый прямоугольник со сторонами «длина окружности» (2πR) и «высота» (h).
• Конус — треть цилиндра по объёму.
• Шар: объём (4/3)πR³, площадь 4πR² — четыре «больших круга».

Задачи «во сколько раз»

Если все линейные размеры увеличить в k раз:

• площади — в k² раз;
• объёмы — в k³ раз.

Пример. Радиус шара увеличили в 2 раза. Объём увеличился в 2³ = 8 раз, площадь поверхности — в 2² = 4 раза.

Если меняются разные размеры по-разному — считайте по формуле.

Пример. Радиус цилиндра увеличили в 3 раза, высоту уменьшили в 2 раза. V = πR²h → 3² / 2 = 4,5 раза больше.

Примеры

Пример 1. Объём куба 64. Найдите площадь поверхности.

a³ = 64 → a = 4. S = 6 · 16 = 96.

Пример 2. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса 12. Найдите объём цилиндра.

V_цил = 3 · 12 = 36.

Пример 3. Правильная четырёхугольная пирамида: сторона основания 6, высота 4. Найдите объём.

V = ⅓ · 36 · 4 = 48.

Пример 4. Найдите объём шара, если площадь его поверхности 36π.

4πR² = 36π → R = 3. V = (4/3)π · 27 = 36π.

Пример 5. В цилиндрический сосуд налили воду до высоты 20 см. Её перелили в сосуд, радиус которого в 2 раза больше. Какой будет высота воды?

Площадь основания выросла в 4 раза → высота уменьшится в 4 раза: 5 см.

Типичные ошибки

• Забывают ⅓ для пирамиды и конуса.
• Путают высоту и образующую конуса, высоту и апофему пирамиды.
• Путают радиус и диаметр.
• В «во сколько раз» умножают на k вместо k² или k³.
• Путают площадь поверхности и объём шара.

Как тренироваться

1. Выпишите все формулы на карточку.
2. Решите задания 3 ЕГЭ из открытого банка ФИПИ — их несколько десятков типов.
3. Отдельно — задачи «во сколько раз».

Репетиторы по математике в «Котангенсе» помогают разобраться в стереометрии и подготовиться к ЕГЭ. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице репетитора по геометрии.