Синус, косинус и тангенс в геометрии 9 класса

Тригонометрия начинается в геометрии 8–9 класса: синус, косинус и тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике. Это тема заданий 15 и 16 ОГЭ и задания 1 ЕГЭ, а в старших классах — основа всей тригонометрии.

Определения в прямоугольном треугольнике

Пусть в треугольнике ABC угол C — прямой, AB — гипотенуза, рассматриваем острый угол A.

• Синус A — отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin A = BC / AB.
• Косинус A — отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos A = AC / AB.
• Тангенс A — отношение противолежащего катета к прилежащему: tg A = BC / AC.

Противолежащий — катет напротив угла. Прилежащий — катет, который образует угол вместе с гипотенузой.

Как запомнить

• Синус — «противолежащий / гипотенуза».
• Косинус — «прилежащий / гипотенуза» (косинус «прилегает»).
• Тангенс — «противолежащий / прилежащий» = sin / cos.

Свойства

• Синус и косинус острого угла — от 0 до 1 (катет меньше гипотенузы).
• tg A = sin A / cos A.
• Основное тождество: sin²A + cos²A = 1 (это теорема Пифагора, делённая на квадрат гипотенузы).
• sin A = cos B, если A + B = 90° (острые углы прямоугольного треугольника).

Таблица значений

• 30°: sin = 1/2, cos = √3/2, tg = √3/3.
• 45°: sin = √2/2, cos = √2/2, tg = 1.
• 60°: sin = √3/2, cos = 1/2, tg = √3.

Запоминалка: у синуса значения растут — 1/2, √2/2, √3/2; у косинуса — то же самое в обратном порядке.

Примеры задач

Пример 1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза 10, sin A = 0,6. Найдите катет BC (противолежащий углу A).

BC = AB · sin A = 10 · 0,6 = 6.

Пример 2. Катеты 6 и 8. Найдите синус угла напротив катета 6.

Гипотенуза: √(36 + 64) = 10. sin = 6/10 = 0,6.

Пример 3. cos A = 0,8. Найдите sin A.

sin²A = 1 − 0,64 = 0,36 → sin A = 0,6.

Пример 4. В треугольнике угол C = 90°, AC = 12, tg A = 0,75. Найдите BC.

tg A = BC/AC → BC = 12 · 0,75 = 9.

Пример 5. Катет напротив угла 30° равен 5. Найдите гипотенузу.

sin 30° = 1/2 = 5/гипотенуза → гипотенуза = 10.

Тупые углы (9 класс)

Для углов от 0° до 180° синус и косинус определяют через единичную полуокружность:

• sin(180° − α) = sin α;
• cos(180° − α) = −cos α.

sin 120° = sin 60° = √3/2; cos 120° = −cos 60° = −1/2; cos 150° = −√3/2.

Косинус тупого угла отрицателен — это важно для теоремы косинусов.

Где применяется

• Найти сторону прямоугольного треугольника по углу и другой стороне.
• Высоты, проекции, наклонные.
• Площадь треугольника: S = ½ab sin C.
• Теоремы синусов и косинусов.
• Задачи ОГЭ 15, 16, 23, ЕГЭ 1.

Типичные ошибки

• Путают противолежащий и прилежащий катеты.
• Синус больше 1 — ошибка (катет не может быть больше гипотенузы).
• Путают значения для 30° и 60°.
• Забывают знак косинуса тупого угла.

Тригонометрия в геометрии понятна, когда рисуешь треугольник и подписываешь стороны. Репетиторы по математике в «Котангенсе» объясняют её на чертежах. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице репетитора по тригонометрии.