Разложение многочлена на множители: все способы

Разложение многочлена на множители — один из главных навыков алгебры. Без него не сократить дробь, не решить уравнение высшей степени, не применить метод интервалов. Все способы перечислим ниже: их немного, и есть понятный порядок, в котором их пробовать.

Зачем раскладывать

• Сокращать дроби: (x² − 9)/(x − 3) = x + 3.
• Решать уравнения: x³ − 4x = 0 → x(x − 2)(x + 2) = 0 → x = 0, ±2.
• Решать неравенства методом интервалов.
• Упрощать вычисления: 37² − 13² = (37 − 13)(37 + 13) = 24 · 50 = 1200.

Способ 1. Вынесение общего множителя

Найдите множитель, который есть во всех слагаемых, и вынесите его за скобки.

6x² + 9x = 3x(2x + 3).

4a³b − 8a²b² = 4a²b(a − 2b).

Всегда начинайте с этого способа.

Способ 2. Группировка

Разбейте слагаемые на группы, в каждой вынесите общий множитель, потом — общую скобку.

ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b).

x³ − 2x² + 3x − 6 = x²(x − 2) + 3(x − 2) = (x − 2)(x² + 3).

Иногда группировать нужно по-другому — пробуйте разные варианты.

Способ 3. Формулы сокращённого умножения

• a² − b² = (a − b)(a + b)
• a² + 2ab + b² = (a + b)²
• a² − 2ab + b² = (a − b)²
• a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
• a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)

x² − 25 = (x − 5)(x + 5).

4y² − 12y + 9 = (2y − 3)².

8 − m³ = (2 − m)(4 + 2m + m²).

Способ 4. Квадратный трёхчлен

ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂), где x₁, x₂ — корни уравнения ax² + bx + c = 0.

x² − 5x + 6: корни 2 и 3 → (x − 2)(x − 3).

2x² + 3x − 2: D = 9 + 16 = 25, корни 0,5 и −2 → 2(x − 0,5)(x + 2) = (2x − 1)(x + 2).

Если D < 0 — трёхчлен на множители не раскладывается.

Комбинация способов

Часто нужно применить несколько способов подряд.

Пример. 2x³ − 18x.

• Общий множитель: 2x(x² − 9).
• Разность квадратов: 2x(x − 3)(x + 3).

Пример. x⁴ − 16.

• Разность квадратов: (x² − 4)(x² + 4).
• Ещё раз: (x − 2)(x + 2)(x² + 4).

Пример. a³ − a²b − ab² + b³.

• Группировка: a²(a − b) − b²(a − b) = (a − b)(a² − b²).
• Разность квадратов: (a − b)(a − b)(a + b) = (a − b)²(a + b).

Алгоритм выбора способа

1. Есть общий множитель? → Вынести.
2. Два слагаемых? → Разность квадратов или сумма/разность кубов.
3. Три слагаемых? → Полный квадрат или квадратный трёхчлен (через корни).
4. Четыре и больше? → Группировка.
5. Получились скобки — проверить, нельзя ли разложить дальше.

Проверка

Раскройте скобки в ответе — должно получиться исходное выражение. Или подставьте число в обе части.

Типичные ошибки

• Не вынесли общий множитель полностью: 6x² + 9x = 3(2x² + 3x) — можно вынести ещё x.
• a² + b² пытаются разложить — сумма квадратов на множители не раскладывается (в действительных числах).
• Ошибки со знаками в группировке: −3x + 6 = −3(x − 2), а не −3(x + 2).
• Не довели разложение до конца.

Разложение на множители — фундамент всей алгебры 8–11 класса. Репетиторы по математике в «Котангенсе» помогают отработать этот навык до автоматизма. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице репетитора по алгебре.