Алгебраические дроби в 8 классе: сокращение и действия

Алгебраические дроби — первая большая тема алгебры 8 класса. Это обычные дроби, только с буквами. Все правила те же, что для числовых дробей из 5–6 класса, но добавляется разложение на множители и область допустимых значений. На этой теме сходятся почти все навыки 7 класса — поэтому здесь и проявляются пробелы. Ниже — сокращение и все действия с такими дробями по шагам.

Что такое алгебраическая дробь

Дробь, в числителе и знаменателе которой — многочлены: (x + 2)/(x − 3), 5a/(a² − 1).

Допустимые значения

Знаменатель не может быть равен нулю. Поэтому для дроби (x + 2)/(x − 3) допустимы все x, кроме x = 3.

Для 5a/(a² − 1): a² − 1 ≠ 0 → a ≠ ±1.

Основное свойство дроби

Числитель и знаменатель можно умножить или разделить на одно и то же выражение (не равное нулю) — дробь не изменится.

Сокращение

Главное правило: сокращать можно только множители, а не слагаемые.

Алгоритм:

1. Разложите числитель и знаменатель на множители.
2. Сократите одинаковые множители.

Пример. (x² − 9)/(x² + 3x).

x² − 9 = (x − 3)(x + 3); x² + 3x = x(x + 3).

(x − 3)(x + 3) / (x(x + 3)) = (x − 3)/x.

Пример. (a² − 4a + 4)/(a² − 4) = (a − 2)²/((a − 2)(a + 2)) = (a − 2)/(a + 2).

Ошибка №1

(x + 3)/(x + 5) — нельзя «сократить x». x — это слагаемое, а не множитель.

Проверка на числах: при x = 1: (1 + 3)/(1 + 5) = 4/6 = 2/3. А «сокращённое» 3/5 ≠ 2/3.

Сложение и вычитание

С одинаковыми знаменателями: складываем числители.

x/(x − 1) + 2/(x − 1) = (x + 2)/(x − 1).

С разными знаменателями:

1. Разложите знаменатели на множители.
2. Найдите общий знаменатель (все множители в наибольших степенях).
3. Найдите дополнительные множители.
4. Сложите.
5. Упростите.

Пример. 1/(x − 2) + 3/(x + 2).

Общий знаменатель: (x − 2)(x + 2).

(x + 2)/((x − 2)(x + 2)) + 3(x − 2)/((x − 2)(x + 2)) = (x + 2 + 3x − 6)/((x − 2)(x + 2)) = (4x − 4)/(x² − 4).

Пример. a/(a² − 1) − 1/(a − 1).

a² − 1 = (a − 1)(a + 1). Общий знаменатель: (a − 1)(a + 1).

(a − (a + 1))/((a − 1)(a + 1)) = −1/(a² − 1).

Умножение

Числитель на числитель, знаменатель на знаменатель. Но сначала разложите и сократите — так проще.

(x² − 4)/(3x) · 6x²/(x + 2) = (x − 2)(x + 2) · 6x² / (3x · (x + 2)) = 2x(x − 2).

Деление

Умножить на перевёрнутую дробь.

(a + b)/a : (a² − b²)/a² = (a + b)/a · a²/((a − b)(a + b)) = a/(a − b).

Что нужно знать для этой темы

• Вынесение общего множителя за скобки.
• Формулы сокращённого умножения.
• Действия с обыкновенными дробями.
• Раскрытие скобок со знаком минус.

Если хотя бы одно из этого «плавает», алгебраические дроби будут трудными.

Типичные ошибки

1. Сокращение слагаемых вместо множителей.
2. Не разложили на множители перед сокращением.
3. Минус перед дробью: −(x − 1)/(x + 2) — минус относится ко всему числителю.
4. Общий знаменатель — просто перемножили, не разложив на множители, и получили громоздкое выражение.
5. Забыли про допустимые значения.

Как тренироваться

• 10 примеров на разложение на множители.
• 10 на сокращение.
• 10 на сложение и вычитание.
• Проверка ответа подстановкой числа.

Алгебраические дроби — тема, где видно, насколько хорошо усвоен 7 класс. Если трудно, репетитор поможет закрыть базу и отработать тему. Репетиторы по математике в «Котангенсе» занимаются онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице репетитора по математике для 8 класса.