НОД и НОК: как находить и зачем это нужно

НОД и НОК — темы 6 класса, которые нужны для работы с дробями (сокращение и общий знаменатель) и для текстовых задач. Многие путают, что есть что. Разберёмся, как находить НОД и НОК и зачем это нужно.

Делители и кратные

Делитель числа a — число, на которое a делится без остатка. Делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Кратное числа a — число, которое делится на a. Кратные 4: 4, 8, 12, 16, 20…

Делителей у числа — конечное количество, кратных — бесконечно много.

НОД — наибольший общий делитель

НОД(a, b) — самое большое число, на которое делятся и a, и b.

Пример. НОД(12, 18).

Делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Делители 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Общие: 1, 2, 3, 6. Наибольший — 6.

НОК — наименьшее общее кратное

НОК(a, b) — самое маленькое число, которое делится и на a, и на b.

Пример. НОК(4, 6).

Кратные 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24…

Кратные 6: 6, 12, 18, 24…

Общие: 12, 24… Наименьшее — 12.

Как не путать

• НОД — меньше или равен меньшему из чисел (делит оба).
• НОК — больше или равен большему из чисел (делится на оба).

НОД(12, 18) = 6 — меньше обоих. НОК(12, 18) = 36 — больше обоих.

Как находить НОД и НОК через разложение на простые множители

Простое число — делится только на 1 и на себя: 2, 3, 5, 7, 11, 13…

Разложим числа на простые множители:

• 60 = 2 · 2 · 3 · 5 = 2² · 3 · 5;
• 84 = 2 · 2 · 3 · 7 = 2² · 3 · 7.

НОД: берём общие множители в наименьшей степени: 2² · 3 = 12.

НОК: берём все множители в наибольшей степени: 2² · 3 · 5 · 7 = 420.

Полезные факты

• Если одно число делится на другое, НОД = меньшему, НОК = большему. НОД(5, 15) = 5, НОК(5, 15) = 15.
• Если числа взаимно простые (НОД = 1), то НОК = их произведению. НОК(4, 9) = 36.
• НОД(a, b) · НОК(a, b) = a · b. Проверка: 6 · 36 = 216 = 12 · 18 ✓.

Зачем нужны

НОД — для сокращения дробей.

18/24: НОД(18, 24) = 6 → 18/24 = 3/4. Сократили сразу до конца.

НОК — для общего знаменателя.

5/6 + 3/8: НОК(6, 8) = 24 → 20/24 + 9/24 = 29/24.

Задачи на НОД: «разделить поровну на максимальное количество групп».

Есть 24 яблока и 36 груш. Нужно разложить их в одинаковые наборы так, чтобы в каждом было одинаковое количество яблок и груш, а наборов — как можно больше. Сколько будет наборов? НОД(24, 36) = 12.

Задачи на НОК: «когда снова совпадут».

Один автобус приходит каждые 12 минут, другой — каждые 18. Они пришли одновременно. Через сколько минут снова придут вместе? НОК(12, 18) = 36 минут.

Типичные ошибки

• Путают НОД и НОК.
• Неправильно раскладывают на простые множители (например, считают 9 простым).
• В НОК берут только общие множители (это НОД).
• Не проверяют результат.

Если ребёнок путается в НОД и НОК, у него будут трудности с дробями. Репетиторы по математике в «Котангенсе» объясняют тему понятно и на примерах. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице репетитора по математике для 6 класса.