Задание 17 ЕГЭ профиль: планиметрия с доказательством

Задание 17 профильного ЕГЭ по математике — планиметрическая задача: а) доказать; б) вычислить. Максимум — 3 балла. Из-за разнообразия сюжетов её часто называют самой «нетренируемой» задачей ЕГЭ. Но и здесь есть набор фактов и приёмов, без которых не обойтись, — и с ними шансы резко растут.

Факты, которые нужны чаще всего

Треугольники:

• Признаки подобия; отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента.
• Свойство биссектрисы: делит сторону в отношении прилежащих сторон.
• Теоремы синусов и косинусов.
• Формулы площади: ½ab sin C, Герона, S = pr, S = abc/(4R).
• Свойства медиан (делятся в отношении 2 : 1), высот, ортоцентра.

Окружности:

• Вписанные углы, угол между касательной и хордой.
• Теорема о пересекающихся хордах: AE · EB = CE · ED.
• Теорема о касательной и секущей.
• Вписанный четырёхугольник: сумма противоположных углов 180°.
• Описанный четырёхугольник: суммы противоположных сторон равны.
• Касающиеся окружности: центры и точка касания на одной прямой.

Четырёхугольники:

• Свойства трапеции: подобные треугольники при диагоналях, средняя линия.
• Параллелограмм: биссектрисы, диагонали.

Пример

а) В треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что треугольник A₁BC₁ подобен треугольнику ABC.

б) Найдите A₁C₁, если AC = 10, угол B = 60°.

а) Точки A₁ и C₁ лежат на окружности с диаметром AC (углы AA₁C и AC₁C — прямые, опираются на AC). Значит, четырёхугольник AC₁A₁C вписанный, и угол BA₁C₁ = угол BAC (внешний угол вписанного четырёхугольника равен внутреннему противоположному). Угол B общий. Треугольники подобны по двум углам.

б) Коэффициент подобия: BA₁/BA = cos B (из прямоугольного треугольника ABA₁). При B = 60° (треугольник остроугольный) k = 1/2. A₁C₁ = AC · k = 5.

Стратегия

1. Пункт а) обычно подсказывает идею для б). Доказали подобие — значит, в б) понадобится коэффициент подобия.
2. Решайте б), даже если не доказали а). Можно пользоваться утверждением а) как данным — за верный пункт б) дают баллы.
3. Чертёж — крупный и точный. Циркуль и линейка на ЕГЭ не запрещены. Точный чертёж часто подсказывает, какие отрезки равны или какие углы прямые.
4. Ищите вписанные четырёхугольники. Два прямых угла, опирающихся на один отрезок, — верный признак.

Критерии (общий принцип)

• 3 балла — верно доказан а) и обоснованно получен верный ответ в б).
• 2 балла — обоснованно получен верный ответ в б), или доказан а) и при обоснованном решении б) допущена арифметическая ошибка.
• 1 балл — доказан а), или при обоснованном решении б) допущена арифметическая ошибка, или обоснованно получен верный ответ в б) с использованием утверждения а), при этом а) не выполнен.

Как подготовиться к заданию 17

1. Уверенно решать задания 1 (ЕГЭ) и 23–25 (ОГЭ) — это фундамент.
2. Составить «справочник фактов» — 2–3 страницы, где у каждого факта есть чертёж.
3. Разбирать 2–3 задачи 17 в неделю на протяжении всего 11 класса, а не «в мае».
4. Вести тетрадь идей: какой приём сработал в какой задаче.

Планиметрия высокого уровня — то, где самостоятельная подготовка даётся тяжелее всего: нужен человек, который подскажет, куда смотреть. Репетиторы по математике в «Котангенсе» разбирают такие задачи наводящими вопросами, чтобы ученик учился находить идею сам. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице подготовки к ЕГЭ по математике.