Задание 1 ЕГЭ профиль: планиметрия

Задание 1 профильного ЕГЭ по математике — задача по планиметрии с кратким ответом. По уровню это школьная геометрия 7–9 класса: найти угол, сторону, радиус или площадь. За верный ответ — 1 первичный балл.

Задание кажется простым, но в нём регулярно теряют баллы те, кто готовился только к алгебре. Геометрию за два года могли забыть.

Темы задания 1

• Треугольники: сумма углов, равнобедренный, прямоугольный, синус/косинус/тангенс острого угла, высота, медиана, биссектриса.
• Четырёхугольники: параллелограмм, ромб, трапеция, прямоугольник.
• Окружность: вписанные и центральные углы, касательные, вписанные и описанные многоугольники.

Примеры

Пример 1. В треугольнике ABC угол C = 90°, AB = 25, cos A = 0,6. Найдите AC.

AC = AB · cos A = 25 · 0,6 = 15.

Пример 2. В треугольнике ABC угол C = 90°, BC = 8, tg A = 0,4. Найдите AC.

tg A = BC/AC → AC = 8/0,4 = 20.

Пример 3. Угол между хордой AB и касательной в точке B равен 34°. Найдите величину дуги AB (меньшей).

Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой между ними. Дуга = 68°.

Пример 4. Центральный угол на 36° больше вписанного, опирающегося на ту же дугу. Найдите вписанный угол.

Центральный = 2 · вписанный. 2x − x = 36 → x = 36°.

Пример 5. Найдите острый угол параллелограмма, если биссектриса этого угла образует со стороной угол 25°.

Биссектриса делит угол пополам, а угол между биссектрисой и противоположной стороной равен половине угла (накрест лежащие). Острый угол = 50°.

Что повторить в первую очередь

1. Определения синуса, косинуса, тангенса в прямоугольном треугольнике и основное тригонометрическое тождество sin²α + cos²α = 1.
2. Свойства вписанных углов и угла между касательной и хордой.
3. Свойства параллелограмма, ромба, трапеции.
4. Формулы площадей.
5. Радиусы вписанной и описанной окружности для прямоугольного и правильного треугольника.

Типичные ошибки

• Путают синус и косинус.
• Не видят, что треугольник равнобедренный (два радиуса — равные стороны).
• Берут не ту дугу: меньшую вместо большей.
• Считают на калькуляторе в голове и ошибаются в простых вычислениях.

Как подготовиться

Задание 1 — это открытый банк ФИПИ с ограниченным набором прототипов. Достаточно решить 50–80 задач из банка, разбитых по темам, — и новые задачи будут узнаваться с первого взгляда.

Начните подготовку к ЕГЭ именно с геометрии 1-й части: это быстрые баллы, а заодно повторение, которое понадобится в задании 17 (планиметрия с доказательством).

Если геометрия забыта совсем, репетитор поможет восстановить её за несколько занятий, не начиная с нуля, а именно в объёме ЕГЭ. В «Котангенсе» подготовка к ЕГЭ по профильной математике идёт онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице подготовки к ЕГЭ по математике.