Задание 14 ЕГЭ профиль: стереометрия с доказательством

Задание 14 профильного ЕГЭ по математике — стереометрическая задача из двух пунктов: а) доказать утверждение; б) вычислить расстояние, угол, площадь сечения или объём. Максимум — 3 балла. Полностью его решает небольшая доля выпускников, но пункт б) часто доступнее, чем кажется.

Что спрашивают

Пункт а) — доказать: прямые перпендикулярны, плоскости перпендикулярны, сечение — определённая фигура, точка делит отрезок в отношении.

Пункт б) — найти:

• угол между прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями;
• расстояние от точки до плоскости, между скрещивающимися прямыми;
• площадь сечения;
• объём части многогранника.

Ключевые факты

1. Признак перпендикулярности прямой и плоскости: прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.
2. Теорема о трёх перпендикулярах: наклонная перпендикулярна прямой в плоскости ⇔ её проекция перпендикулярна этой прямой.
3. Признак перпендикулярности плоскостей: плоскость, проходящая через перпендикуляр к другой плоскости, перпендикулярна ей.
4. Угол между прямой и плоскостью — угол между прямой и её проекцией на плоскость.
5. Угол между плоскостями — линейный угол двугранного угла.

Два подхода

Классический (геометрический). Строим нужные элементы на чертеже, доказываем перпендикулярность, считаем через планиметрию. Красиво, но требует пространственного воображения.

Координатный метод. Вводим систему координат (удобно в кубе, прямоугольном параллелепипеде, правильной призме), находим координаты точек и считаем:

• угол между прямыми — через скалярное произведение направляющих векторов;
• угол между плоскостями — через нормали;
• расстояние от точки до плоскости — по формуле |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²).

Координатный метод хорош для пункта б): он «механический» и не требует догадок. Минус — громоздкие вычисления, где легко ошибиться.

Пример (пункт б координатным методом)

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 1 найдите угол между прямыми AB₁ и BC₁.

Координаты: A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), B₁(1; 0; 1), C₁(1; 1; 1).

AB₁ = (1; 0; 1), BC₁ = (0; 1; 1).

cos φ = (0 + 0 + 1)/(√2 · √2) = 1/2 → φ = 60°.

Критерии (общий принцип)

• 3 балла — обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.
• 2 балла — обоснованно получен верный ответ в пункте б), или имеется верное доказательство пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
• 1 балл — имеется верное доказательство пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен.

Важно: пункт б) можно решать, не доказав а), используя утверждение а) как данное. Это законный способ получить баллы.

Как подготовиться к заданию 14

1. Начните с задания 3 (стереометрия первой части) — без него 14 не пойдёт.
2. Выучите признаки перпендикулярности и теорему о трёх перпендикулярах — с чертежами.
3. Освойте координатный метод на кубе и правильной призме.
4. Решите 20–30 заданий 14 из сборников, сначала с разбором, потом сами.

Стереометрия — тема, где очень помогает рисовать вместе с преподавателем: правильный чертёж — половина решения. Репетиторы по математике в «Котангенсе» занимаются онлайн на интерактивной доске, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице подготовки к ЕГЭ по математике.