Задание 3 ЕГЭ профиль: стереометрия

Задание 3 профильного ЕГЭ по математике — стереометрия с кратким ответом. Нужно найти объём, площадь поверхности, длину ребра или угол в простой пространственной фигуре. Сложных построений нет: всё решается по формулам и с помощью планиметрии.

Формулы объёмов

• Призма (в том числе куб и параллелепипед): V = S_осн · h.
• Пирамида: V = ⅓ · S_осн · h.
• Цилиндр: V = πR²h.
• Конус: V = ⅓πR²h.
• Шар: V = 4/3 · πR³.

Формулы площадей поверхности

• Куб: S = 6a².
• Прямоугольный параллелепипед: S = 2(ab + bc + ac).
• Цилиндр: S_бок = 2πRh, S_полн = 2πRh + 2πR².
• Конус: S_бок = πRl (l — образующая), S_полн = πRl + πR².
• Шар (сфера): S = 4πR².

Примеры

Пример 1. Объём куба 27. Найдите площадь его поверхности.

a³ = 27 → a = 3. S = 6 · 9 = 54.

Пример 2. Во сколько раз увеличится объём шара, если его радиус увеличить в 3 раза?

V ~ R³. 3³ = 27. Ответ: 27.

Пример 3. Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара при увеличении радиуса в 2 раза?

S ~ R². 2² = 4. Ответ: 4.

Пример 4. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Объём цилиндра 21. Найдите объём конуса.

V_конуса = ⅓ V_цилиндра = 7.

Пример 5. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания 6, высота 4. Найдите боковое ребро.

Половина диагонали основания: 6√2/2 = 3√2. Боковое ребро = √(16 + 18) = √34. Такой ответ в ЕГЭ не дадут — вопрос будет «найдите квадрат бокового ребра» (34) или числа будут подобраны иначе. Например, при стороне 8√2 и высоте 6: половина диагонали 8, ребро √(36 + 64) = 10.

Пример 6. В сосуд цилиндрической формы налита вода до уровня 16 см. Её перелили в сосуд с радиусом основания в 2 раза больше. На какой высоте будет уровень воды?

Объём не меняется. Площадь основания выросла в 4 раза, значит, высота уменьшится в 4 раза: 16/4 = 4 см.

Задачи «во сколько раз»

Это частый тип. Главное правило:

• Длины меняются в k раз.
• Площади — в k² раз.
• Объёмы — в k³ раз.

Если меняются разные размеры по-разному (например, радиус в 2 раза, высота в 3 раза), считайте по формуле: V_цил = πR²h → (2²) · 3 = 12 раз.

Составные многогранники

Иногда дан многогранник, «вырезанный» из параллелепипеда. Объём удобно считать как разность: большой параллелепипед минус вырезанная часть. Площадь поверхности — аккуратно, по всем граням; часто она равна площади исходного параллелепипеда, потому что вырез «переносит» грани.

Типичные ошибки

• Забывают ⅓ в формуле пирамиды и конуса.
• Путают образующую конуса и высоту.
• Путают радиус и диаметр.
• В задачах «во сколько раз» умножают вместо возведения в степень.

Как подготовиться

1. Выучить формулы объёмов и площадей — их немного.
2. Разобрать задачи «во сколько раз изменится».
3. Решить 40–60 задач 3 из открытого банка ФИПИ по типам.

Стереометрию проходят в 10–11 классе, и многие выпускники к ЕГЭ её просто не успевают отработать. Задание 3 — отличный способ «зайти» в тему перед более сложным заданием 14. Репетитор по математике в «Котангенсе» поможет выстроить подготовку к профильному ЕГЭ. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице подготовки к ЕГЭ по математике.