Задание 17 ОГЭ по математике: четырёхугольники

Задание 17 ОГЭ по математике — задача на четырёхугольник: параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат или трапецию. Нужно найти угол, сторону, диагональ или площадь. Как и в других геометрических заданиях первой части, решение короткое — главное знать свойства фигур.

Параллелограмм

• Противоположные стороны равны и параллельны.
• Противоположные углы равны.
• Сумма соседних углов — 180°.
• Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
• Площадь: S = a · h или S = a · b · sin α.

Прямоугольник

• Всё, что у параллелограмма, плюс все углы 90°.
• Диагонали равны.
• S = a · b.

Ромб

• Все стороны равны.
• Диагонали перпендикулярны и делят углы пополам.
• S = d₁ · d₂ / 2 (половина произведения диагоналей).

Квадрат

• Всё сразу: стороны равны, углы прямые, диагонали равны и перпендикулярны.
• Диагональ d = a√2.
• S = a² = d²/2.

Трапеция

• Две стороны (основания) параллельны.
• Средняя линия = (a + b)/2.
• S = (a + b)/2 · h.
• В равнобедренной трапеции углы при основании равны.
• Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, — 180°.

Примеры

Пример 1. В параллелограмме ABCD угол A = 52°. Найдите угол B.

B = 180° − 52° = 128°.

Пример 2. Диагонали ромба 10 и 24. Найдите площадь и сторону.

S = 10 · 24 / 2 = 120.

Диагонали делятся пополам и перпендикулярны, поэтому сторона — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 5 и 12: √(25 + 144) = 13.

Пример 3. Основания трапеции 6 и 14, высота 5. Найдите площадь.

S = (6 + 14)/2 · 5 = 50.

Пример 4. Диагональ квадрата 8. Найдите площадь.

S = d²/2 = 64/2 = 32.

Пример 5. В равнобедренной трапеции основания 5 и 13, боковая сторона 5. Найдите высоту.

Опускаем высоты из вершин меньшего основания. На большем основании по краям отсекаются отрезки (13 − 5)/2 = 4. В прямоугольном треугольнике гипотенуза 5, катет 4 → высота 3.

Пример 6. В прямоугольнике диагональ 10, одна сторона 6. Найдите площадь.

Вторая сторона: √(100 − 36) = 8. S = 6 · 8 = 48.

Типичные ошибки

• В ромбе считают площадь как произведение диагоналей, забывая поделить на 2.
• Путают свойства: равные диагонали есть у прямоугольника, а перпендикулярные — у ромба. У квадрата есть и то, и другое.
• В трапеции путают высоту и боковую сторону.
• Не видят прямоугольный треугольник, который получается при проведении высоты или диагонали.

Приём: свести к треугольнику

Почти любая задача про четырёхугольник решается через треугольник: диагональ делит фигуру на два треугольника, высота отсекает прямоугольный треугольник. Если не знаете, что делать, — проведите диагональ или высоту и посмотрите на получившиеся треугольники.

Как подготовиться

1. Таблица свойств всех четырёхугольников на одной странице.
2. Формулы площадей — выучить и понять, откуда они (площадь параллелограмма = площадь прямоугольника, если «отрезать и переставить» треугольник).
3. 20–30 заданий 17 из открытого банка ФИПИ.

Четырёхугольники проходят в 8 классе. Если там остались пробелы, они мешают и в заданиях 23–25 второй части. Репетитор по математике в «Котангенсе» поможет закрыть геометрию 7–8 класса перед ОГЭ. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице подготовки к ОГЭ по математике.