Задание 16 ОГЭ по математике: окружность, углы, касательные

Задание 16 ОГЭ по математике — задача на окружность. Чаще всего нужно найти угол (вписанный, центральный, между касательной и хордой) или радиус вписанной/описанной окружности. Достаточно знать 7–8 фактов, чтобы решать почти все задачи этого типа.

Главные факты

1. Центральный угол равен дуге, на которую он опирается.
2. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. То есть вписанный угол в 2 раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу.
3. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой (90°).
4. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
5. Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
6. Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны.
7. Вписанный четырёхугольник: сумма противоположных углов — 180°.
8. Описанный четырёхугольник: суммы противоположных сторон равны.

Радиусы

• Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — половина гипотенузы.
• Радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной a, — a/2.
• Радиус окружности, описанной около квадрата, — половина диагонали: a√2/2.
• Для правильного треугольника со стороной a: R = a√3/3, r = a√3/6.

Примеры

Пример 1. Центральный угол AOB равен 110°. Найдите вписанный угол ACB, опирающийся на ту же дугу.

ACB = 110°/2 = 55°.

Пример 2. AB — диаметр окружности, C — точка на окружности. Угол CAB = 32°. Найдите угол CBA.

Угол ACB опирается на диаметр, поэтому он 90°. CBA = 180° − 90° − 32° = 58°.

Пример 3. Из точки A к окружности с центром O проведена касательная AB, B — точка касания. OA = 13, радиус 5. Найдите AB.

Угол OBA = 90° (касательная ⊥ радиусу). По Пифагору: AB = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12.

Пример 4. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол A = 74°. Найдите угол C.

C = 180° − 74° = 106°.

Пример 5. Гипотенуза прямоугольного треугольника 26. Найдите радиус описанной окружности.

R = 26/2 = 13.

Типичные ошибки

• Путают вписанный и центральный угол. Вершина центрального — в центре окружности, вершина вписанного — на окружности.
• Умножают вместо деления. Вписанный угол в 2 раза меньше центрального.
• Не видят прямой угол. Касательная + радиус = 90°. Угол на диаметре = 90°. Если в задаче есть касательная или диаметр — почти наверняка нужен прямой угол.
• Берут не ту дугу. Хорда делит окружность на две дуги. Смотрите, на какую дугу опирается угол — внутри угла лежит именно она.

Как решать

1. Нарисуйте окружность, отметьте центр.
2. Проведите радиусы к важным точкам — это почти всегда помогает: появляются равнобедренные треугольники (два радиуса — равные стороны).
3. Найдите на чертеже прямые углы (касательная, диаметр).
4. Примените нужный факт.

Как подготовиться

Окружность проходят в 8 классе. Тема компактная: выучите 8 фактов выше, разберите по 3–4 задачи на каждый — и задание 16 станет одним из самых надёжных.

Хороший план:

1. Карточка с фактами о вписанных и центральных углах.
2. 10 задач на вписанные углы.
3. 10 задач на касательные.
4. 10 задач на радиусы вписанных и описанных окружностей.
5. Задания 16 из открытого банка ФИПИ.

Геометрия на ОГЭ обязательна: без 2 баллов за геометрические задания аттестат не дадут. Если окружность не получается, репетитор по математике в «Котангенсе» разберёт её на интерактивной доске, рисуя вместе с учеником. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице подготовки к ОГЭ по математике.