Задание 15 ОГЭ по математике: треугольники

Задание 15 открывает геометрический модуль ОГЭ по математике. Это задача на треугольник: найти угол, сторону, отрезок или площадь. Решение обычно занимает 2–3 строчки, если знать нужные факты.

Важно: для получения аттестата нужно набрать минимум 2 балла по геометрии (задания 15–19, 23–25). Поэтому задания 15–19 нельзя пропускать, даже если геометрия «не ваш предмет».

Что нужно знать

Углы:

• Сумма углов треугольника — 180°.
• Внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Прямоугольный треугольник:

• Теорема Пифагора: c² = a² + b².
• Катет напротив угла 30° равен половине гипотенузы.
• sin A = противолежащий катет / гипотенуза, cos A = прилежащий / гипотенуза, tg A = противолежащий / прилежащий.

Отрезки:

• Медиана делит сторону пополам.
• Биссектриса делит угол пополам.
• Средняя линия параллельна стороне и равна её половине.
• Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Площадь:

• S = ½ · a · h.
• Для прямоугольного: S = ½ · a · b (катеты).
• S = ½ · a · b · sin C.

Примеры

Пример 1. В треугольнике ABC угол A = 46°, угол B = 71°. Найдите угол C.

C = 180° − 46° − 71° = 63°.

Пример 2. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол B = 40°. Найдите угол A.

Углы при основании равны: A = C = (180° − 40°)/2 = 70°.

Пример 3. Катеты прямоугольного треугольника 9 и 12. Найдите гипотенузу.

c = √(81 + 144) = √225 = 15.

Пример 4. В прямоугольном треугольнике гипотенуза 20, sin A = 0,6. Найдите катет, противолежащий углу A.

BC = AB · sin A = 20 · 0,6 = 12.

Пример 5. Сторона треугольника 14, высота к ней 9. Найдите площадь.

S = ½ · 14 · 9 = 63.

Пример 6. Средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, равна 7. Найдите AC.

AC = 2 · 7 = 14.

Пифагоровы тройки

Запомните несколько троек — в задачах ОГЭ они встречаются постоянно:

• 3, 4, 5 (и кратные: 6, 8, 10; 9, 12, 15)
• 5, 12, 13
• 8, 15, 17
• 7, 24, 25

Увидели катеты 5 и 12 — сразу знаете, что гипотенуза 13.

Типичные ошибки

• Путают синус и косинус: синус — противолежащий катет, косинус — прилежащий.
• В равнобедренном треугольнике путают угол при вершине и при основании.
• По теореме Пифагора находят катет, но складывают квадраты вместо вычитания: a² = c² − b².
• Забывают, что высота может лежать вне тупоугольного треугольника.

Как решать, если не помните формулу

1. Нарисуйте чертёж крупно, отметьте всё, что дано.
2. Подпишите, что найти.
3. Выпишите все факты, которые относятся к этому виду треугольника.
4. Если чертёж в задании не дан — нарисуйте сами. Многие задачи становятся очевидными, как только есть картинка.

Как подготовиться

1. Сделайте шпаргалку на одну страницу: все факты о треугольниках.
2. Решите 30–40 заданий 15 из открытого банка ФИПИ: они повторяются, и после такого объёма новые задачи будут казаться знакомыми.
3. Повторите синус, косинус и тангенс на прямоугольном треугольнике.

Если геометрия не даётся совсем, это часто связано с тем, что в 7 классе не понятно, что такое доказательство и зачем нужен чертёж. Это можно наверстать. Репетитор по математике в «Котангенсе» поможет пройти геометрию заново — понятно и по шагам. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице подготовки к ОГЭ по математике.