Задание 7 ЕГЭ профиль: вычисления и преобразования выражений

В задании 7 профильного ЕГЭ по математике нужно найти значение выражения. В нём могут быть степени, корни, логарифмы или тригонометрия. Считать «в лоб» обычно долго, а через свойства — быстро. Ответ всегда «красивый»: целое число или короткая десятичная дробь.

Степени и корни

Свойства те же, что в ОГЭ, плюс дробные показатели: a^(1/n) = ⁿ√a, a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ).

Пример. 27^(2/3) = (∛27)² = 3² = 9.

Пример. (√48 − √12) · √3 = √144 − √36 = 12 − 6 = 6.

Пример. 5^(0,4) · 25^(0,3) = 5^(0,4) · 5^(0,6) = 5¹ = 5.

Логарифмы

Основные свойства (a > 0, a ≠ 1, b, c > 0):

• log_a(bc) = log_a b + log_a c
• log_a(b/c) = log_a b − log_a c
• log_a(bⁿ) = n · log_a b
• a^(log_a b) = b
• log_a b = log_c b / log_c a (переход к новому основанию)

Пример. log₂ 40 − log₂ 5 = log₂ 8 = 3.

Пример. 7^(log₇ 9) = 9.

Пример. log₃ 54 − log₃ 2 = log₃ 27 = 3. Осторожно: разность логарифмов — это логарифм частного, а вот частное логарифмов log₃ 54 / log₃ 2 — уже совсем другое (это log₂ 54).

Пример. log₅ 0,04 = log₅ (1/25) = −2.

Тригонометрия

Основное: sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α, формулы приведения, формулы двойного угла.

Пример. Найдите sin α, если cos α = 0,6 и α ∈ (3π/2; 2π).

sin²α = 1 − 0,36 = 0,64, sin α = ±0,8. В IV четверти синус отрицателен: sin α = −0,8.

Пример. 24 sin 15° cos 15° = 12 sin 30° = 12 · 0,5 = 6.

Пример. 14 sin 409° / sin 49° = 14 sin(360° + 49°)/sin 49° = 14.

Алгебраические дроби

Пример. Найдите значение (a² − 9)/(a − 3) − a при a = 17,5.

(a − 3)(a + 3)/(a − 3) − a = a + 3 − a = 3.

Значение a не понадобилось — это частый приём составителей. Если подставлять сразу, придётся считать 17,5², а ответ всё равно 3.

Общий алгоритм

1. Посмотрите на выражение целиком: какие свойства просятся?
2. Приведите к одному основанию (степени, логарифмы).
3. Упростите до конца, только потом подставляйте числа.
4. Проверьте, что ответ «красивый». Если нет — ищите ошибку.

Типичные ошибки

• Путают log(b · c) и log b · log c.
• Знак тригонометрической функции в нужной четверти.
• Формулы приведения: sin(π − α) = sin α, cos(π − α) = −cos α.
• Подставляют числа до упрощения и тонут в вычислениях.

Как подготовиться

1. Карточка со свойствами степеней, логарифмов и основными тригонометрическими формулами.
2. По 10–15 задач на каждый тип из открытого банка ФИПИ.
3. Повторить таблицу значений sin, cos, tg для 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.

Задание 7 проверяет «гигиену» алгебры. Без уверенного владения этими преобразованиями не получится решить задания 13 и 15 второй части. Репетитор по математике в «Котангенсе» поможет закрыть пробелы и подготовиться к профильному ЕГЭ. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице подготовки к ЕГЭ по математике.