Задание 15 ЕГЭ профиль: неравенства

Задание 15 профильного ЕГЭ по математике — неравенство с развёрнутым решением, до 2 баллов. Чаще всего это логарифмическое или показательное неравенство, которое после замены сводится к рациональному и решается методом интервалов.

Это задание считается «средним» во второй части: сложнее 13, но значительно доступнее 16–19.

Главный инструмент — метод интервалов

1. Перенести всё в одну сторону, сравнить с нулём.
2. Разложить на множители (числитель и знаменатель).
3. Отметить нули числителя и знаменателя на прямой (знаменатель — всегда выколотые точки).
4. Определить знаки на промежутках.
5. Выбрать нужные промежутки.

Показательное неравенство

Решите неравенство 4ˣ − 5 · 2ˣ + 4 ≤ 0.

Пусть t = 2ˣ > 0: t² − 5t + 4 ≤ 0 → (t − 1)(t − 4) ≤ 0 → 1 ≤ t ≤ 4.

1 ≤ 2ˣ ≤ 4 → 0 ≤ x ≤ 2.

Ответ: [0; 2].

Логарифмическое неравенство

Решите неравенство log₂(x − 1) + log₂(x + 1) ≤ 3.

ОДЗ: x − 1 > 0 и x + 1 > 0 → x > 1.

log₂((x − 1)(x + 1)) ≤ 3 → x² − 1 ≤ 8 → x² ≤ 9 → −3 ≤ x ≤ 3.

С учётом ОДЗ: 1 < x ≤ 3.

Ответ: (1; 3].

Внимание к основанию: если основание логарифма меньше 1, знак неравенства при переходе к аргументам меняется. log₀,₅ x > log₀,₅ 3 → x < 3 (и x > 0).

Метод рационализации

Для неравенств, где основание логарифма содержит переменную, удобен метод рационализации: выражение log_a b − log_a c имеет тот же знак, что и (a − 1)(b − c) на ОДЗ. Это позволяет заменить логарифмы на многочлены и решить методом интервалов. Метод требует аккуратности с ОДЗ, но экономит много времени.

Дробно-рациональное неравенство

Решите (x² − 4)/(x − 3) ≥ 0.

Нули числителя: ±2 (закрашенные), нуль знаменателя: 3 (выколотая).

Знаки: x > 3 — плюс; 2 < x < 3 — минус; −2 < x < 2 — плюс; x < −2 — минус.

Ответ: [−2; 2] ∪ (3; +∞).

Критерии

• 2 балла — обоснованно получен верный ответ.
• 1 балл — обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек, или получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения.
• 0 баллов — в остальных случаях.

Типичные ошибки

• Забытое ОДЗ в логарифмических неравенствах — самая частая причина потери баллов.
• Основание меньше 1 — не поменяли знак.
• Ограничение t > 0 при замене t = aˣ.
• Граничные точки: знаменатель никогда не может быть равен нулю — точка всегда выколотая.
• Деление на выражение с переменной, знак которого неизвестен, — так нельзя: переносите всё в одну сторону.

Как подготовиться к заданию 15

1. Безупречно решать квадратные и дробные неравенства методом интервалов.
2. Повторить свойства логарифмов и показательной функции.
3. Решить 30–40 неравенств из сборников с полным оформлением: ОДЗ, замена, метод интервалов, пересечение с ОДЗ, ответ.

Задание 15 — хорошее вложение времени для тех, кто стремится к 80+ баллам. Репетитор по математике в «Котангенсе» разберёт все типы неравенств и научит оформлению по критериям. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице подготовки к ЕГЭ по математике.